Com aguantar-se dret
COM AGUANTAR-SE DRET
Tothom sap que un pèndol que pugui donar la volta completa en el pla vertical té dues posicions d'equilibri: la inferior, estable i la superior, inestable. Però què passa si el punt de suspensió es fa vibrar verticalment? Doncs que si la freqüència de vibració és prou alta, la posició superior esdevé estable. Un pèndol que oscil·la... invertit! Aquest sistema té la particularitat de que es pot realitzar físicament sense massa complicacions. El fregadís, les oscil·lacions paràsites i altres follets de la mecànica que normalment fan fracassar els benintencionats muntatges demostratius, aquí tenen ben poc efecte. És possible utilitzar el model simplificat, sense fregadís, i obtenir resultats que s'ajusten al que s'observa a la realitat. I és més, aquest pèndol presenta comportaments que serien molt difícils d'obtenir a la pràctica sense saber prèviament que existeixen, com el que s'anomena "ressonància paramètrica".
En general, la posició inferior del pèndol vibrant és d'equilibri estable. Però quan els paràmetres del sistema, la amplitud i la freqüència de vibració, prenen certs valors, l'equilibri perd l'estabilitat i el pèndol comença a oscil·lar violentament. D'aquí el nom de ressonància paramètrica. Com que aquest és un fenomen local, per al seu estudi és suficient l'aproximació lineal a prop dels punts d'equilibri, és a dir, les solucions de l'equació variacional.
En el sistema que estudiem, i tant a la posició inferior com a la superior, aquesta equació és un tipus particular d'equació lineal amb coeficients periòdics, anomenada de Mathieu, de gran importància en diferents branques de les matemàtiques, la física i l'astronomia.